【題目】已知函數.
(1)若在區(qū)間上單調遞增,求實數的取值范圍;
(2)若存在唯一整數,使得成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)本問考查利用導數研究函數單調性,由函數在區(qū)間上單調遞增,則在上恒成立,即在上恒成立,采用參變分離的方法,將問題轉化為在上恒成立,設函數,于是只需滿足即可,問題轉化為求函數的最小值;(2)存在唯一整數,使得,即,于是問題轉化為存在唯一一個整數 使得函數圖像在直線下方,于是可以畫出兩個函數圖像,結合圖像進行分析,確定函數在時圖像之間的關系,通過比較斜率大小來確定的取值范圍.
試題解析:(1)函數的定義域為, ,
要使在區(qū)間上單調遞增,只需,即
在上恒成立即可,
易知在上單調遞增,所以只需即可,
易知當時, 取最小值, ,
∴實數的取值范圍是.
(2)不等式即,
令,
則, 在上單調遞增,
而,
∴存在實數,使得,
當時, , 在上單調遞減;
當時, , 在上單調遞增,∴.
,畫出函數和的大致圖象如下,
的圖象是過定點的直線,
由圖可知若存在唯一整數,使得成立,則需,
而,∴.
∵,∴.
于是實數的取值范圍是.
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【題目】已知函數.
(1)用定義證明函數在上是增函數;
(2)探究是否存在實數,使得函數為奇函數?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,解不等式.
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【題目】“共享單車”的出現,為我們提供了一種新型的交通方式.某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵不嚴重的城市和交通擁堵嚴重的城市分別隨機調查了20個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,并繪制出莖葉圖(如圖所示):
若得分不低于80分,則認為該用戶對此種交通方式“認可”,否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”,請根據此樣本完成此列聯表,并據此樣本分析是否有的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關:
合計 | |||
認可 | |||
不認可 | |||
合計 |
附:參考數據:(參考公式:)
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知函數(為自然對數的底數),是的導函數.
(Ⅰ)當時,求證;
(Ⅱ)是否存在正整數,使得對一切恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知點為橢圓的左焦點,且兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個交點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與軸交于,過點的直線與橢圓交于兩不同點, ,若,求實數的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中,直線的參數方程是(為參數).以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設點,若直線與曲線交于, 兩點,且,求實數的值.
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【題目】在測試中,客觀題難度的計算公式為,其中為第題的難度, 為答對該題的人數, 為參加測試的總人數.現對某校高三年級120名學生進行一次測試,共5道客觀題.測試前根據對學生的了解,預估了每道題的難度,如下表所示:
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
測試后,從中隨機抽取了10名學生,將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況,如下表所示(“√”表示答對,“×”表示答錯):
學生編號 題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
(Ⅰ)根據題中數據,將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數及相應的實測難度填入下表,并估計這120名學生中第5題的實測答對人數;
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實測答對人數 | |||||
實測難度 |
(Ⅱ)從編號為1到5的5人中隨機抽取2人,求恰好有1人答對第5題的概率;
(Ⅲ)定義統(tǒng)計量,其中為第題的實測難度, 為第題的預估難度.規(guī)定:若,則稱該次測試的難度預估合理,否則為不合理.判斷本次測試的難度預估是否合理.
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【題目】(A)在直角坐標系中,以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的參數方程為 (為參數), 是曲線上的動點, 為線段的中點,設點的軌跡為曲線.
(1)求的坐標方程;
(2)若射線與曲線異于極點的交點為,與曲線異于極點的交點為,求.
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