Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2，則a_n=2ⁿ；記T_n=a₁+3a₂+…+（2n-1）a_n，則T_n=6+（2n-3）2ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式可得a_n，再利用“錯位相減法”與求和公式即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-2，
∴n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項與公比為2．
則a_n=2ⁿ．
T_n=a₁+3a₂+…+（2n-1）a_n=2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ，
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=2×$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=-6+（3-2n）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=6+（2n-3）2ⁿ⁺¹，
故答案分別為：2ⁿ；6+（2n-3）2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、遞推關(guān)系、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．