Question

7．現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A₁B₁C₁D₁，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁（如圖所示），并要求正四棱柱的高O₁O是正四棱錐的高PO₁的4倍．
（1）若AB=6m，PO₁=2m，則倉庫的容積是多少？
（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，則當(dāng)PO₁為多少時(shí)，倉庫的容積最大？

Answer 1

分析 （1）由正四棱柱的高O₁O是正四棱錐的高PO₁的4倍，可得PO₁=2m時(shí)，O₁O=8m，進(jìn)而可得倉庫的容積；
（2）設(shè)PO₁=xm，則O₁O=4xm，A₁O₁=$\sqrt{36-{x}^{2}}$m，A₁B₁=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-{x}^{2}}$m，代入體積公式，求出容積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法，可得最大值．

解答 解：（1）∵PO₁=2m，正四棱柱的高O₁O是正四棱錐的高PO₁的4倍．
∴O₁O=8m，
∴倉庫的容積V=$\frac{1}{3}$×6²×2+6²×8=312m³，
（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，
設(shè)PO₁=xm，
則O₁O=4xm，A₁O₁=$\sqrt{36-{x}^{2}}$m，A₁B₁=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-{x}^{2}}$m，
則倉庫的容積V=$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-{x}^{2}}$）²•x+（$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-{x}^{2}}$）²•4x=$-\frac{26}{3}$x³+312x，（0＜x＜6），
∴V′=-26x²+312，（0＜x＜6），
當(dāng)0＜x＜2$\sqrt{3}$時(shí)，V′＞0，V（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)2$\sqrt{3}$＜x＜6時(shí)，V′＜0，V（x）單調(diào)遞減；
故當(dāng)x=2$\sqrt{3}$時(shí)，V（x）取最大值；
即當(dāng)PO₁=2$\sqrt{3}$m時(shí)，倉庫的容積最大．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是棱錐和棱柱的體積，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最大值，難度中檔．