Question

8．已知定義域為R的函數f（x）=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數（a＞0，b＞0）．
（1）求a，b值；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0可得b值，再由f（-1）+f（1）=0可得b值；
（2）分類常數可得可得f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，由2^x＞0和不等式的性質可得函數的值域．

解答 解：（1）由a＞0和奇函數的性質可得f（0）=0，
∴$\frac{-1+b}{2+a}$=0，解得b=1，∴f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+a}$，
再由f（-1）+f（1）=0可得$\frac{\frac{1}{2}}{1+a}$+$\frac{-1}{4+a}$=0，
解得a=2；
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{-（{2}^{x}-1）}{2（{2}^{x}+1）}$
=$\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{2（{2}^{x}+1）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，∴0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
∴-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$，
∴函數的值域為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）

點評 本題考查函數的奇偶性和函數的值域，屬基礎題．