Question

18．給出下列命題，其中正確的是②③
①函數(shù)y=2cos²（x+$\frac{π}{6}$）的圖象可由y=1+cos2x向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到；
②函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）+cos（x+$\frac{π}{4}$）是偶函數(shù)；
③直線x=$\frac{π}{8}$是曲線y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一條對(duì)稱軸；
④函數(shù)y=2sin²（x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期是2π．
⑤函數(shù)y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．

解答 解：①函數(shù)y=2cos²（x+$\frac{π}{6}$）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
其圖象可由y=1+cos2x向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到，而不是$\frac{π}{3}$，故錯(cuò)誤；
②函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）+cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cosx，
滿足f（-x）=f（x），為偶函數(shù)，故正確；
③把x=$\frac{π}{8}$代入y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）可得y=sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{5π}{4}$）=-1，為最小值
故直線x=$\frac{π}{8}$是曲線y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一條對(duì)稱軸，故正確；
④化簡(jiǎn)可得函數(shù)y=2sin²（x+$\frac{π}{3}$）=1-cos（2x+$\frac{2π}{3}$），
由周期公式可得函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，而不是2π，故錯(cuò)誤；
⑤由2x+$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$可得x≠$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，
故函數(shù)y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）的定義域?yàn)閧x|x≠$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}，故錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判定，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象的變換，屬中檔題．