Question

17．已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人．（以下問(wèn)題用數(shù)字作答）
（1）邀請(qǐng)這6人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的情形？
（2）這6人同時(shí)加入6項(xiàng)不同的活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)限1人，其中甲不參加第一項(xiàng)活動(dòng)，乙不參加第三項(xiàng)活動(dòng)，共有多少種不同的安排方法？
（3）將這6人作為輔導(dǎo)員安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名輔導(dǎo)員；求丁、戊、己恰好被安排在同一項(xiàng)活動(dòng)中的概率．

Answer 1

分析 （1）分別求出這6個(gè)人只去1個(gè)人、只去2個(gè)人、只去3個(gè)人、只去4個(gè)人、只去5個(gè)人，6的人全去的方法數(shù)，相加即得所求；
（2）所有的安排方法共有A₆⁶種，求得甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)的方法有A₅⁵種，乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有A₅⁵種，甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)而且乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有A₄⁴種，問(wèn)題得以解決；
（3）這6人作為輔導(dǎo)員安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名輔導(dǎo)員，6人可以分為（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）三組，再分配到三項(xiàng)不同活動(dòng)中，其中丁、戊、己恰好被安排在同一項(xiàng)活動(dòng)中，共有2C₃¹A₃³種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）分別求出這6個(gè)人只去1個(gè)人、只去2個(gè)人、只去3個(gè)人、只去4個(gè)人、只去5個(gè)人，6的人全去的方法數(shù)，$C_6^1+C_6^2+…+C_6^6={2^6}-1=63$
故共有63種不同的去法  …（4分）
（2）所有的安排方法共有A₆⁶種，求得甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)的方法有A₅⁵種，乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有A₅⁵種，甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)而且乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有A₄⁴種，
即為所求$A_6^6-2A_5^5+A_4^4=720-240+24=504$
故共有504種不同的安排方法…（8分）
（3）這6人作為輔導(dǎo)員安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名輔導(dǎo)員，6人可以分為（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）三組，再分配到三項(xiàng)不同活動(dòng)中，
共有C₆³A₃³+C₆¹C₅²A₃³+C₆²C₄²種，其中丁、戊、己恰好被安排在同一項(xiàng)活動(dòng)中，共有2C₃¹A₃³種，
故$P=\frac{2C_3^1A_3^3}{C_6^4A_3^3+C_6^1C_5^2A_3^3+C_6^2C_4^2}=\frac{1}{15}$
故丙、戊恰好被安排在一項(xiàng)活動(dòng)中的概率為$\frac{1}{15}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．當(dāng)直接解的情況比較復(fù)雜時(shí)，可以考慮用間接解法，是一個(gè)中檔題目