Question

19．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E、F、G分別是AA₁、A₁B₁、A₁D₁的中點．
（Ⅰ）求證：平面EFG∥平面BC₁D；
（Ⅱ）在線段BD上是否存在點H，使得EH⊥平面BC₁D？若存在，求線段BH的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面平行的判定定理證明即可；（Ⅱ）假設EH⊥平面BC₁D，根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可．

解答 解：（Ⅰ）連結B₁D₁，則GF為△A₁B₁D₁的中位線，∴GF∥B₁D₁…（1分）
∵在正方體中，BD∥B₁D₁，
∴GF∥BD，∵GF?平面BC₁D，BD?平面BC₁D，
∴GF∥平面BC₁D，
同理可證：EF∥平面BC₁D，又EF?平面EFG，
∴平面EFG∥平面BC₁D，…（6分）
（Ⅱ）取BD的中點H，則滿足EH⊥平面BC₁D，且BH=$\sqrt{2}$．
證明如下：
取BD的中點H，連結A₁C₁、EB、EH、ED、BC₁、C₁H，
則EB=ED=$\sqrt{5}$，

∴在△BED中，由$EB=\sqrt{5}$，$BH=\sqrt{2}$得$EH=\sqrt{3}$
由BC₁=2$\sqrt{2}$，BH=$\sqrt{2}$得C₁H=$\sqrt{6}$，
由A₁E=1，A₁C₁=2$\sqrt{2}$得C₁E=3，
∴△C₁EH中，EH⊥C₁H，又C₁H?BC₁D，
∴EH⊥平面BC₁D，且BH=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了面面平行，線面垂直的判定定理，是一道中檔題．