Question

5．（1）已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x，求過(guò)點(diǎn)（2，1）且與函數(shù)f（x）圖象相切的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求得a=2的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，可得切線的方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由點(diǎn)在曲線f（x）上，以及直線的斜率公式，計(jì)算即可得到所求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-5x+2lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-5+$\frac{2}{x}$，
可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=2-5+2=-1，
切點(diǎn)為（1，-4），
可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+4=-（x-1），
即為直線y=-x-3；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{3}{2}$，
則n=$\frac{1}{2}$m³-$\frac{3}{2}$m，$\frac{3}{2}$m²-$\frac{3}{2}$=$\frac{n-1}{m-2}$，
化為m³-3m²+4=0，
即為（m³+1）-3（m²-1）=0，
即有（m+1）（m-2）²=0，
解得m=-1或2，
可得切線的斜率為0或$\frac{9}{2}$，
即有切線的方程為y=1或y-1=$\frac{9}{2}$（x-2），
即為y=1或9x-2y-16=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，注意區(qū)分在某點(diǎn)處的切線和過(guò)某點(diǎn)的切線，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．