Question

7．過(guò)點(diǎn)M（1，1）且與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1交于A，B兩點(diǎn)，則被點(diǎn)M平分的弦所在的直線方程為x+4y-5=0．

Answer 1

分析 設(shè)過(guò)M點(diǎn)的直線與橢圓兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，得到兩個(gè)關(guān)系式，分別記作①和②，①-②后化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)系式，然后根據(jù)M為弦AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，表示出直線AB方程的斜率，把化簡(jiǎn)得到的關(guān)系式變形，將A和B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和代入即可求出斜率的值，然后由點(diǎn)M的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線AB的方程即可．

解答 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1①，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=1②，
①-②式可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$=0，
又點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，且M（1，1），由$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4}$＜1，可得M在橢圓內(nèi)，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
即得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴過(guò)點(diǎn)A且被該點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是y-1=-$\frac{1}{4}$（x-1），即x+4y-5=0．
故答案為：x+4y-5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系及中點(diǎn)弦問(wèn)題的求解策略，關(guān)鍵在于對(duì)“設(shè)而不求法”的掌握．