Question

11．已知F為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0、b＞0）的焦點(diǎn)，若曲線C上存在點(diǎn)P，使得直線FP與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑是b的圓切于P點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)F為右焦點(diǎn)（c，0），P（m，n）為第一象限的點(diǎn)，由題意可得OP⊥PF，運(yùn)用勾股定理可得|PF|=a，再由三角形的面積公式可得n，m，將P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，化簡(jiǎn)整理，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F為右焦點(diǎn)（c，0），P（m，n）為第一象限的點(diǎn)，
由題意可得OP⊥PF，
由勾股定理可得|PF|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OP{|}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
由三角形的面積公式可得n=$\frac{ab}{c}$，
m=$\sqrt{^{2}-{n}^{2}}$=$\frac{^{2}}{c}$，
將（$\frac{^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）代入雙曲線的方程，可得$\frac{^{4}}{{a}^{2}{c}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}^{2}}$=1，
即b⁴-a⁴=a²c²，可得（b²-a²）（b²+a²）=a²c²，
即為b²=2a²，即有c²=3a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)和等積法，以及點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．