Question

16．已知函數(shù)g（x）=log₂x．
（I）正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，g（a_n+1）-g（a_n）=1，（n∈N⁺），求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．
（Ⅱ）令函數(shù)f（x）=g（x）+x-a，若曲線y=sinx+cosx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）上存在（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）運用對數(shù)的運算性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和；
（Ⅱ）由題意運用輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可得存在y₀∈[1，$\sqrt{2}$]，使f（y₀）=y₀成立，即f（x）=x在[1，$\sqrt{2}$]上有解，即log₂x=a，x∈[1，$\sqrt{2}$]，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，可得a的范圍．

解答 解：（I）函數(shù)g（x）=log₂x，
可得g（a_n+1）-g（a_n）=log₂a_n+1-log₂a_n=1，
即有公比q=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，
則有前n項和S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=g（x）+x-a=log₂x+x-a在（0，+∞）遞增，
y₀=sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$sin（x₀+$\frac{π}{4}$），
由x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得x₀+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
可得y₀∈[1，$\sqrt{2}$]，
f（y₀）=log₂y₀+y₀-a，
由曲線y=sinx+cosx上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，
可得存在y₀∈[1，$\sqrt{2}$]，使f（y₀）=y₀成立，
即f（x）=x在[1，$\sqrt{2}$]上有解，即log₂x=a在[1，$\sqrt{2}$]上有解．
a為g（x）在[1，$\sqrt{2}$]上的值域．
由函數(shù)g（x）在[1，$\sqrt{2}$]上是增函數(shù)，
故g（1）≤g（x）≤g（$\sqrt{2}$），即0≤a≤$\frac{1}{2}$，
即有a的取值范圍是[0，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由單調(diào)性求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．