Question

18．已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)，且f（-1）=$\frac{1}{2}$，若實數(shù)a滿足f（log_a3）+f（${log_a}\frac{1}{3}$）≤1，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． 0＜a≤$\frac{1}{3}$
• B． a≥3，或0＜a＜$\frac{1}{4}$
• C． a≥3，或0＜a≤$\frac{1}{3}$
• D． a≥3

Answer 1

分析 利用題意首先確定函數(shù)在全體實數(shù)域上的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到對數(shù)不等式，求解對數(shù)不等式即可求得最終結(jié)果．

解答 解：由偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)，且 $f（-1）=\frac{1}{2}$可知：
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為減函數(shù)，且$f（1）=\frac{1}{2}$，
整理求解題中所給的不等式：
f（log_a3）+f（log_{a$\frac{1}{3}$} ）=f（loga3）+f（-loga3）=2f（loga3）?1，
∴$f（{log}_{a}3）≤\frac{1}{2}=f（1）$，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性有：|log_a3|≤1，
解得a≥3，或0＜a≤$\frac{1}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，對數(shù)不等式的解法等，重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中等題．