Question

8．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

使用年限x	2	3	4	5	6
維修費(fèi)用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由資料知，y與x呈線性相關(guān)關(guān)系，
（1）試求線性回歸方程$\left.\begin{array}{l}{∧}\\{y}\end{array}\right.$=$\left.\begin{array}{l}{∧}\\\end{array}\right.$x+$\left.\begin{array}{l}{∧}\\{a}\end{array}\right.$．（ 提示：$\left.\begin{array}{l}{∧}\\\end{array}\right.$=$\frac{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i-1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$； $\left.\begin{array}{l}{∧}\\{a}\end{array}\right.$=$\overline{y}$-$\left.\begin{array}{l}{∧}\\\end{array}\right.$$\overline{x}$）
（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意首先結(jié)合公式求得$\hat$，然后利用$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}$ 求得 $\hat{a}$的值即可確定回歸方程；
（2）利用回歸方程的預(yù)測(cè)作用，將x=10代入回歸直線方程即可求得使用年限為10年時(shí)的維修費(fèi)用．

解答 解：（1）由題意可得：$\overline{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4，\overline{y}=\frac{2.2+3.8+5.5+6.5+7.0}{5}=5$，
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=112.3，\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}=90$，則：
$\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}=\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}=1.23$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}=0.08$．
據(jù)此可得線性回歸方程為 $\hat{y}=1.23x+0.08$．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可預(yù)測(cè)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是 y=1.23×10+0.08=12.38萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用，線性回歸方程的性質(zhì)等，重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)基礎(chǔ)概念的理解，屬于中等題．