【題目】如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面所截而得,已知平面 的中點(diǎn),

(1)求的長;

(2)求證:面;

(3)求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值.

【答案】(1);(2)證明見解析;(3).

【解析】試題分析:1的中點(diǎn),連接,為梯形的中位線, 先證明四邊形為平行四邊形, ,可得;(2由平面,結(jié)合可得,因?yàn)?/span> ,所以,從而得面(3)為原點(diǎn), 所在直線分別為 軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析:1的中點(diǎn),連接,為梯形的中位線,

,所以

所以四點(diǎn)共面,因?yàn)?/span>,且面所以

所以四邊形為平行四邊形, 所以

2由題意可知平面;平面

所以因?yàn)?/span> 所以

, 所以面;.

3)以為原點(diǎn), 所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)的中點(diǎn),則,易證: 平面

平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為,

所以

所以,由所求二面角為銳二面角角,所以平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值

【方法點(diǎn)晴】本題主要考面面垂直的證明、線面平行的定斷與性質(zhì)以及利用空間向量求二面角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且ABAD=2,AA1,∠BAD=120°.

(1)求異面直線A1BAC1所成角的余弦值;

(2)求二面角BA1DA的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)設(shè)函數(shù),試討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)設(shè)函數(shù) ,求函數(shù)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)fx)=Asinωx+φ)(ω0,|φ|)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表:

ωx+φ

0

π

2π

x

Asinωx+φ

0

5

5

0

1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫出函數(shù)fx)的解析式;

2)將yfx)圖象上所有點(diǎn)向左平移θθ0)個(gè)單位長度,得到ygx)的圖象.ygx)圖象的一個(gè)對稱中心為(,0),求θ的最小值.

3)若,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段后,畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:

(1)求第四小組的頻率,補(bǔ)全頻率分布直方圖,并求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)和方差,(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)從被抽取的數(shù)學(xué)成績是分以上(包括分)的學(xué)生中選兩人,求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率;

(3)假設(shè)從全市參加高一年級期末考試的學(xué)生中,任意抽取個(gè)學(xué)生,設(shè)這四個(gè)學(xué)生中數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>分以上(包括分)的人數(shù)為(以該校學(xué)生的成績的頻率估計(jì)概率),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中,正確的命題是( )

A. BD與CF成60°角 B. BD與EF成60°角 C. AB與CD成60°角 D. AB與EF成60°角

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知曲線,,則下列結(jié)論正確的是( )

A. 上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度,再把所有圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到曲線

B. 上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),得到曲線

C. 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再把所得圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度,得到曲線

D. 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),再把所得圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度,得到曲線

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在梯形中, , .將沿折起至,使得平面平面(如圖2), 為線段上一點(diǎn).

圖1 圖2

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)若為線段中點(diǎn),求多面體與多面體的體積之比;

(Ⅲ)是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,求的長.若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)是奇函數(shù),是偶函數(shù),且其中.

1)求的表達(dá)式,并求函數(shù)的值域

2)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)不等實(shí)根,求常數(shù)的取值范圍

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