Question

11．四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線y=x²上，A，C關(guān)于y軸對稱，BD平行于拋物一在點C處的切線．
（1）證明：AC平分∠BAD；
（2）若點A坐標為（-1，1），四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₀，x₀²），B（x₁，x₁²），C（-x₀，x₀²），D（x₂，x₂²）．對y=x²求導(dǎo)，得y′=2x，利用斜率相等推出x₁+x₂=-2x₀，記直線AB，AD的斜率分別為k₁，k₂，推出∠CAB=∠CAD，即AC平分∠BAD．（Ⅱ）由題設(shè)，x₀=-1，x₁+x₂=2，k=2．四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}$|AC|•|${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$|，化簡求解直線BD的方程為y=2x．

解答 解：（Ⅰ）證明：設(shè)A（x₀，x₀²），B（x₁，x₁²），C（-x₀，x₀²），D（x₂，x₂²）．
對y=x²求導(dǎo)，得y′=2x，則拋物線在點C處的切線斜率為-2x₀．
直線BD的斜率k=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=x₁+x₂，
依題意，有x₁+x₂=-2x₀．…（4分）
記直線AB，AD的斜率分別為k₁，k₂，與BD的斜率求法同理，得
k₁+k₂=（x₀+x₁）+（x₀+x₂）=2x₀+（x₁+x₂）=0，
所以∠CAB=∠CAD，即AC平分∠BAD．…（6分）
（Ⅱ）由題設(shè)，x₀=-1，x₁+x₂=2，k=2．四邊形ABCD的面積
S=$\frac{1}{2}$|AC|•|${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$|=$\frac{1}{2}$|AC|•|x₂+x₁|•|x₂-x₁|
=$\frac{1}{2}$×2×2×|2-2x₁|=4|1-x₁|，…（10分）
由已知，4|1-x₁|=4，得x₁=0，或x₁=2．
所以點B和D的坐標為（0，0）和（2，4），
故直線BD的方程為y=2x．…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．