Question

16．橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上，且位于第一象限，當(dāng)△PAF是直角三角形時，S_△PAF=（　�。�

• A． $\frac{{25\sqrt{3}}}{4}$或$\frac{20}{3}$
• B． $\frac{25\sqrt{3}}{2}$或$\frac{50}{3}$
• C． $\frac{25\sqrt{3}}{4}$或$\frac{10}{3}$
• D． $\frac{25\sqrt{3}}{2}$或$\frac{20}{3}$

Answer 1

分析 由橢圓方程，當(dāng)PA⊥PF，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可求得三角形的面積，當(dāng)PF⊥AF，則P（4，y），代入橢圓方程求得y，即可求得S_△PAF．

解答 解：由題意可知：橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$焦點(diǎn)在x軸上，a=6，b=2$\sqrt{5}$，c=4，則A（-6，0），F(xiàn)（4，0），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），y＞0，
當(dāng)PA⊥PF，如圖1，
則$\overrightarrow{AP}$=（x+6，y），$\overrightarrow{FP}$=（x-4，y），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{FP}$=0，（x+6）（x-4）+y²=0，
由y²=20（1-$\frac{{x}^{2}}{36}$），
整理得：2x²+9x-18=0，解得：x=$\frac{3}{2}$或x=-6，
由y＞0，則x=$\frac{3}{2}$，則y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△PAF=$\frac{1}{2}$×丨AF丨×y=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)PF⊥AF，如圖2．
則P（4，y），y＞0，
y²=20（1-$\frac{{x}^{2}}{36}$）=$\frac{100}{9}$，y=$\frac{10}{3}$，
S_△PAF=$\frac{1}{2}$×丨AF丨×y=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{10}{3}$=$\frac{50}{3}$，
∴△PAF面積$\frac{25\sqrt{3}}{2}$或$\frac{50}{3}$．
故選B．

如圖1，

如圖2．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于中檔題．