Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線與直線在處相切.

①求的值；

②求證：當(dāng)時(shí)，；

（2）當(dāng)且時(shí)，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①②見解析（2）

【解析】

（1）①求出導(dǎo)函數(shù)，由可求得，再由可求得，從而得；②引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值（需二次求導(dǎo)確定），確定最小值是，從而證得不等式成立；

（2）不等式分離參數(shù)得，原題等價(jià)于時(shí)，有解.求出的最小值即可得，為此先證明不等式，仍然構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與最值得出結(jié)論．應(yīng)用剛證的不等式可得結(jié)論．

解：（1）①因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)榍�線與直線在處相切，

所以，所以.

所以，所以.

又切點(diǎn)在直線上，所以，

所以，所以

② 由①知，可設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由，所以，

所以存在，使得，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，所以，

即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，

(3）先證. 構(gòu)造函數(shù)，則.

故當(dāng)時(shí)，，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，

所以，即

又當(dāng)，且時(shí)，等價(jià)于

故原題等價(jià)于時(shí)，有解.

因?yàn)?/span>（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

所以.