Question

【題目】在△ABC中，角A、B、C的 對邊分別為a、b、c，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求tanA及tanC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，cos2C=1﹣2sin2C，

∴ ，

∵C為三角形內(nèi)角，∴sinC＞0，

∴ ，

∵ ，∴ ，

∴sinC= ，即2sinB=sinAsinC，

∵A+B+C=π，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，

∵sinAsinC≠0，

∴

（2）解：∵ ，

∴ ，

∵A+B+C=π，

∴ ．

∴ ，

整理得tan2C﹣8tanC+16=0，

解得：tanC=4，

將tanC=4代入得： =4

【解析】（1）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡cos2C，變形后求出sin2C的值，由C為三角形的內(nèi)角，得到sinC大于0，開方可得出sinC的值，利用正弦定理化簡得到的關(guān)系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sinB=sin（A+C），代入關(guān)系式中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)sinAsinC不為0，等式左右兩邊同時除以cosAcosC，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，即可得到所求式子的值；（2）由第一問求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B換為π﹣（A+C），利用誘導(dǎo)公式化簡后，將表示出的tanA代入，得到關(guān)于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值．
【考點精析】通過靈活運用兩角和與差的正弦公式和兩角和與差的正切公式，掌握兩角和與差的正弦公式：；兩角和與差的正切公式：即可以解答此題．