Question

11．探究函數(shù)y=4$\sqrt{x-1}$+3$\sqrt{5-x}$的最大值與最小值，如有最大值與最小值，一并求出何時取到最大值與最小值．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=f（x）=4$\sqrt{x-1}$+3$\sqrt{5-x}$，可得x∈[1，5]，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：由函數(shù)y=f（x）=4$\sqrt{x-1}$+3$\sqrt{5-x}$，可得x∈[1，5]，
∴f′（x）=$\frac{4\sqrt{5-x}-3\sqrt{x-1}}{2\sqrt{（x-1）（5-x）}}$，
令f′（x）≤0，解得5≥x≥$\frac{89}{25}$，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
令f′（x）≥0，解得$\frac{89}{25}$≥x≥1，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當x=$\frac{89}{25}$時，函數(shù)f（x）取得最小值f（$\frac{89}{25}$）=$\frac{58}{5}$，
又f（1）=6，f（5）=8．∴函數(shù)的最大值為8．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．