Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（I）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線總是曲線的切線；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意且，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（I）見證明；（Ⅱ）-1

【解析】

（I）將代入函數(shù)解析式，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由與的值，即可證明結(jié)論；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意且，都有等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有，且對(duì)任意，都有，再由，得，進(jìn)而可求出結(jié)果.

易得的導(dǎo)數(shù).

（I）證明：此時(shí)，.

注意到對(duì)任意實(shí)數(shù)，，，

故直線是曲線在原點(diǎn)處的切線；

（Ⅱ）由題意，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有，且對(duì)任意，都有.

因，故（否則，若，則在的左右附近，恒有，

從而單調(diào)遞減，不合題意）.

于是，因此.

又當(dāng)，時(shí)，（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)），

于是在內(nèi)單調(diào)遞增，滿足題意.

所以的最小值為.