Question

11．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F，線段PQ為拋物線C的一條弦．
（1）若弦PQ過焦點F，求證：$\frac{1}{FP}+\frac{1}{FQ}$為定值；
（2）求證：x軸的正半軸上存在定點M，對過點M的任意弦PQ，都有$\frac{1}{{M{P^2}}}+\frac{1}{{M{Q^2}}}$為定值；
（3）對于（2）中的點M及弦PQ，設(shè)$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MQ}$，點N在x軸的負(fù)半軸上，且滿足$\overrightarrow{NM}⊥（{\overrightarrow{NP}-λ\overrightarrow{NQ}}）$，求N點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線PQ的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁x₂的值，由拋物線的定義分別表示出|FP|，|FQ|，代入$\frac{1}{FP}+\frac{1}{FQ}$整理得到定值，最后驗證斜率不存在時的情況；
（2）設(shè)出直線PQ的方程，聯(lián)立拋物線方程，運用韋達(dá)定理和兩點的距離公式，化簡整理，即可求得定點M和定值；
（3）運用向量共線的坐標(biāo)表示和向量垂直的條件，化簡整理即可求得定點N．

解答 （1）證明：拋物線的焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$）（k≠0），
代入拋物線方程，消去y，得k²x²-p（k²+2）x+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，x₁+x₂=p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$，
由拋物線的定義，知|FP|=x₁+$\frac{p}{2}$，|FQ|=x₂+$\frac{p}{2}$．$\frac{1}{|FP|}$+$\frac{1}{|FQ|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}+\frac{p}{2}}$
=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{{x}_{1}{x}_{2}+{（x}_{1}+{x}_{2}）\frac{p}{2}+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{2p（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}{{p}^{2}（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}$=$\frac{2}{p}$為定值．
當(dāng)PQ⊥x軸時，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；
（2）證明：設(shè)M（m，0），當(dāng)PQ⊥x軸時，令x=m，可得y²=2pm，
|MP|=|MQ|=$\sqrt{2pm}$，有$\frac{1}{|MP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|MQ{|}^{2}}$為定值$\frac{1}{pm}$．
當(dāng)PQ斜率存在時，設(shè)PQ：x=ty+m，代入拋物線方程可得，
y²-2pty-2pm=0，設(shè)P（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），Q（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂）
則y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-2pm．
即有|MP|²=（m-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$）²+y₁²=$\frac{（-{y}_{1}{y}_{2}-{{y}_{1}}^{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁²=（1+t²）y₁²，
同理|MQ|²=（m-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$）²+y₂²=（1+t²）y₂²．
即有$\frac{1}{|MP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|MQ{|}^{2}}$=$\frac{1}{1+{t}^{2}}$•$\frac{4{p}^{2}{t}^{2}+4pm}{4{p}^{2}{m}^{2}}$，
存在m=p即有定點M（p，0）時，上式為$\frac{1}{1+{t}^{2}}$•$\frac{4{p}^{2}（1+{t}^{2}）}{4{p}^{4}}$=$\frac{1}{{p}^{2}}$為定值；
（3）解：$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MQ}$，可得$\overrightarrow{NM}$=$\frac{\overrightarrow{NP}+λ\overrightarrow{NQ}}{1+λ}$，
$\overrightarrow{NM}⊥（{\overrightarrow{NP}-λ\overrightarrow{NQ}}）$，可得（$\overrightarrow{NP}$+λ$\overrightarrow{NQ}$）•（$\overrightarrow{NP}$-λ$\overrightarrow{NQ}$）=0，
即為NP²=λ²NQ²，
由P（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），Q（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），M（p，0），設(shè)$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MQ}$，
則y₁=-λy₂，①p-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$=λ（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$-p），②
又設(shè)N（n，0）（n＜0），則（n-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$）²+y₁²=λ²[（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$-n）²+y₂²]，
即為$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$-n=λ（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$-n），③
將①平方可得，y₁²=λ²y₂²，④，
將④代入②③，化簡可得n=-p．
則N（-p，0）．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系．同時考查向量垂直的條件和向量共線的坐標(biāo)表示，注意運用韋達(dá)定理和拋物線的定義是解題的關(guān)鍵，具有一定的運算量，屬于中檔題．