Question

3．已知x+$\frac{y}{4}$=4，且x＞0，y＞0，則log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+log${\;}_{\frac{1}{2}}$y的最小值為（　�。�

• A． -2
• B． -3
• C． -4
• D． -5

Answer 1

分析 通過對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡是表達(dá)式，然后利用基本不等式求解表達(dá)式的最小值即可．

解答 解：log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+log${\;}_{\frac{1}{2}}$y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（xy）=log₂（$\frac{1}{xy}$）．∵x+$\frac{y}{4}$=4，且x＞0，y＞0，∴x²+$\frac{xy}{2}$+（$\frac{y}{4}$）²=16．
$\frac{1}{xy}$=$\frac{1}{16}$$\frac{1}{xy}$（x+$\frac{y}{4}$）²=$\frac{1}{16}$$（\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{1}{2}）$≥$\frac{1}{16}×（2\sqrt{\frac{x}{y}×\frac{y}{16x}}+\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{16}$，當(dāng)且僅當(dāng)y=4x且x+$\frac{y}{4}$=4，即x=2時(shí)取等號(hào)．
則log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+log${\;}_{\frac{1}{2}}$y的最小值為log₂$\frac{1}{16}$=-4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．