Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=e^xlnx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（2）令Q（x）=1-$\frac{2{e}^{x}}{ex}$，證明：當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞Q（x）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)的方程；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-Q（x），利用導(dǎo)數(shù)F′（x）判斷F（x）的單調(diào)性，求出F（x）的最小值，即可判斷x＞0時(shí)f（x）＞Q（x）恒成立．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^xlnx的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=e^x（lnx+$\frac{1}{x}$），
可得f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率為k=e（ln1+1）=e，
切點(diǎn)為（1，0），
即有f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y-0=e（x-1），
化簡(jiǎn)為y=ex-e；
（2）證明：Q（x）=1-$\frac{2{e}^{x}}{ex}$，
F（x）=f（x）-Q（x）=e^xlnx+$\frac{{2e}^{x}}{ex}$-1（x＞0），
F′（x）=e^x（lnx+$\frac{1}{x}$）+2e^x（$\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{ex}^{2}}$）=e^x（lnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{ex}$-$\frac{2}{{ex}^{2}}$）；
設(shè)h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{ex}$-$\frac{2}{{ex}^{2}}$（x＞0），
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{ex}^{2}}$+$\frac{1}{{ex}^{3}}$，
令h′（x）=0，
得ex²-（e+1）x+1=0，
解得x=1或x=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
所以x=$\frac{1}{e}$時(shí)h（x）有極大值，x=1時(shí)h（x）取得極小值，也是最小值h（1）=1＞0，
F′（x）＞F′（1）=e＞0，
所以F（x）＞F（1）=0；
即f（x）-Q（x）＞0，
所以當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞Q（x）恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查看利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)切線(xiàn)方程的應(yīng)用問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用直線(xiàn)方程是解題的關(guān)鍵，是綜合性題目．