Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=

2(n+1)

n

a_n-n-1，
（1）求a₁、a₂、a₃、a₄；
（2）用合情推理猜測a_n-n關(guān)于n的表達(dá)式（不用證明）；
（3）用合情推理猜測{

an-n

n

}是什么類型的數(shù)列并證明；
（4）求{a_n}的前n項(xiàng)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)a₁=3，a_n+1=

2(n+1)

n

a_n-n-1，逐項(xiàng)代入可得a₂、a₃、a₄；
（2）根據(jù)當(dāng)n=1時(shí)，a_n-n=2=2×1，當(dāng)n=2時(shí)，a_n-n=8=4×2，當(dāng)n=3時(shí)，a_n-n=24=8×3，當(dāng)n=4時(shí)，a_n-n=64=16×4，…歸納可得a_n-n=2ⁿ•n，
（3）由（2）得：

an-n

n

=2ⁿ，故{

an-n

n

}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以2為公式等比數(shù)列，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法，可證得結(jié)論；
（4）a_n=2ⁿ•n+n，則S_n=（2•1+1）+（2²•2+2）+（2³•3+3）+…+（2ⁿ•n+n）進(jìn)而利用分組求和法和錯(cuò)位相減法，可得答案．

解答： 解：（1）∵a₁=3，a_n+1=

2(n+1)

n

a_n-n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₂=

2(1+1)

1

a1-1-1=10，
當(dāng)n=2時(shí)，a₃=

2(2+1)

2

a2-2-1=27，
當(dāng)n=3時(shí)，a₄=

2(3+1)

3

a3-3-1=68，
（2）由（1）得a_n-n，
當(dāng)n=1時(shí)，a_n-n=2=2×1，
當(dāng)n=2時(shí)，a_n-n=8=4×2，
當(dāng)n=3時(shí)，a_n-n=24=8×3，
當(dāng)n=4時(shí)，a_n-n=64=16×4，
…
歸納可得：a_n-n=2ⁿ•n，
（3）由（2）得：

an-n

n

=2ⁿ，故{

an-n

n

}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以2為公式等比數(shù)列，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3，

a1-1

1

=2符合條件；
設(shè)n=k時(shí)，符合條件，即

ak-k

k

=2^k，則ak=k•2k+k
則n=k+1時(shí)，

ak+1-(k+1)

k+1

=

2(k+1) k ak-k-1-(k+1)

k+1

=

2

k

ak-2=

2

k

(k•2k+k)-2=2^k+1也滿足條件，
故

an-n

n

=2ⁿ，即{

an-n

n

}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以2為公式等比數(shù)列，
（4）由（2）得：a_n=2ⁿ•n+n，
則S_n=（2•1+1）+（2²•2+2）+（2³•3+3）+…+（2ⁿ•n+n）
=（2•1+2²•2+2³•3+…+2ⁿ•n）+（1+2+3+…+n）
令T_n=2•1+2²•2+2³•3+…+2ⁿ•n，…①
則2T_n=2²•1+2³•2+…+2ⁿ•（n-1）+2ⁿ⁺¹•n，…②
②-①得：T_n=2ⁿ⁺¹•n-（2+2²+2³+…+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹•n-（2ⁿ⁺¹-2）=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=T_n+（1+2+3+…+n）=（n-1）2ⁿ⁺¹+2+

n(n+1)

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是合情推理，數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列求和，綜合性強(qiáng)，難度較大．