Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為整數(shù)，且公差d＞0，a₃=4，若a₁，a₃，a_k（k＞3）構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
（1）當(dāng)k=7，a₁=2時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n，b_n；
（2）將數(shù)列{a_n}和{b_n}的相同的項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成新的數(shù)列{c_n}，設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，求使得不等式

b1

S1

+

b2

S4

+

b3

S11

+…+

bn

S2n+1-(n+2)

＞

126

127

成立的最小正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閗=7，所以a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，又a_n是公差d≠0的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的定義可以得到a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ；
（2）因?yàn)樾碌臄?shù)列{c_n }的前2ⁿ-n-1項(xiàng)和為數(shù)列a_n的前2ⁿ-1項(xiàng)的和減去數(shù)列b_n前n項(xiàng)的和，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可得到

bn

S2n+1-n-2

，拆成差的形式為

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，再由裂項(xiàng)相消求和，解不等式，即可得到n的最小值．

解答： 解：（1）因?yàn)閗=7，所以a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，又a_n是公差d≠0的等差數(shù)列，
所以（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），整理得a₁=2d，
又a₁=2，所以d=1，b₁=a₁=2，q=

b2

b1

=

a3

a1

=

a1+2d

a1

=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ；
（2）因?yàn)樾碌臄?shù)列{c_n }的前2ⁿ-n-1項(xiàng)和為數(shù)列a_n的前2ⁿ-1項(xiàng)的和減去數(shù)列b_n前n項(xiàng)的和，
所以S_2ⁿ-n-1=

(2n-1)(2n+1)

2

-

2(1-2n)

1-2

=（2ⁿ-1）（2^n-1-1），
即有

bn

S2n+1-n-2

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
則有

b1

S1

+

b2

S4

+

b3

S11

+…+

bn

S2n+1-(n+2)

=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

＞

126

127

，則有2ⁿ⁺¹＞128=2⁷，即有n＞6．
故成立的最小正整數(shù)n為7．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，還考查了解方程的能力，數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法，及學(xué)生的計(jì)算能力．