Question

3．$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，…，\overrightarrow{a_n}，…$是按先后順序排列的一列向量，若$\overrightarrow{a_1}=（-2015，13）$，且$\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{{a_{n-1}}}=（1，1）$，則其中模最小的一個向量的序號為1002．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出x_n與y_n的通項公式，計算$\overrightarrow{{a}_{n}}$的模長最小值即可．

解答 解：$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，…，\overrightarrow{a_n}，…$是按先后順序排列的一列向量，
且$\overrightarrow{a_1}=（-2015，13）$，$\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{{a_{n-1}}}=（1，1）$，
∴$\overrightarrow{{a}_{n}}=\overrightarrow{{a}_{n-1}}$+（1，1），
即（x_n，y_n）=（x_n-1，y_n-1）+（1，1）
=（x_n-1+1，y_n-1+1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n}={x}_{n-1}+1}\\{{y}_{n}={y}_{n-1}+1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n}=n-2016}\\{{y}_{n}=n+12}\end{array}\right.$，
∴|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\sqrt{{{x}_{n}}^{2}+{{y}_{n}}^{2}}$
=$\sqrt{（n-2016）^{2}+（{n+12）}^{2}}$
=$\sqrt{2{n}^{2}-2×2004n+1{2}^{2}+201{6}^{2}}$；
∴當(dāng)n=$\frac{2×2004}{2×2}$=1002，即n=1002時，其模最小．
故答案為：1002．

點評 本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的應(yīng)用問題，是綜合性題目．