【題目】已知a為常數(shù),函數(shù)f(x)=x(lnx﹣ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2)( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:∵f′(x)=lnx+1﹣2ax,(x>0)
令f′(x)=0,由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個(gè)解x1 , x2函數(shù)g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)g′(x)在(0,+∞)上的唯一的極值不等于0.
.
①當(dāng)a≤0時(shí),g′(x)>0,f′(x)單調(diào)遞增,因此g(x)=f′(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意,應(yīng)舍去.
②當(dāng)a>0時(shí),令g′(x)=0,解得x= ,
∵x ,g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增; 時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
∴x= 是函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn),則 >0,即 >0,
∴l(xiāng)n(2a)<0,∴0<2a<1,即 .
故當(dāng)0<a< 時(shí),g(x)=0有兩個(gè)根x1 , x2 , 且x1< <x2 , 又g(1)=1﹣2a>0,
∴x1<1< <x2 , 從而可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x1)上遞減,在區(qū)間(x1 , x2)上遞增,在區(qū)間(x2 , +∞)上遞減.
∴f(x1)<f(1)=﹣a<0,f(x2)>f(1)=﹣a>﹣ .
故選:D.
先求出f′(x),令f′(x)=0,由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個(gè)解x1 , x2函數(shù)g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)g′(x)在(0,+∞)上的唯一的極值不等于0.利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用分期付款方式購(gòu)買家用電器一件,價(jià)格為1150元,購(gòu)買當(dāng)天先付150元,以后每月這一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率為1%.若交付150元后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月,全部欠款付清后,買這件家電實(shí)際付款______元.
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【題目】如圖,已知四棱錐,底面為菱形, 平面, , 分別是的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若為上的動(dòng)點(diǎn), 與平面所成最大角的正切值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)所給的條件求直線的方程:
(1)直線過點(diǎn)(-4,0),傾斜角的正弦值為;
(2)直線過點(diǎn)(5,10),到原點(diǎn)的距離為5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上不同于的一點(diǎn),直線的斜率均存在,且直線的斜率之積為.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若,設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),若點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)部,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=135°,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點(diǎn),點(diǎn)M在線段PD上. (Ⅰ)求證:EF⊥平面PAC;
(Ⅱ)如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由于被墨水污染,一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字:“已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過,,求證:這個(gè)二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱”,根據(jù)已知消息,題中二次函數(shù)圖像不具有的性質(zhì)是( ).
A. 在軸上的截線段長(zhǎng)是 B. 與軸交于點(diǎn)
C. 頂點(diǎn) D. 過點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為是上一點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),平行于的直線交于異于的兩點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.證明:直線與軸圍成的三角形是等腰三角形.
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