【題目】如圖,已知四棱錐,底面為菱形, 平面, , 分別是的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若為上的動(dòng)點(diǎn), 與平面所成最大角的正切值為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由條件,可證菱形中, ,再由線面垂直可得線線垂直得出,進(jìn)一步得出平面,再由線面垂直的性質(zhì),可證線線垂直。á颍┯伤o條件,建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出空間各點(diǎn)坐標(biāo),求出二面角的二面的法向量,由法向量的夾角與二面角之間的關(guān)系求出其余弦值.
試題解析:(Ⅰ)證明:由四邊形為菱形, ,可得為正三角形.
因?yàn)?/span>為的中點(diǎn),所以.
又,因此.
因?yàn)?/span>平面, 平面,所以.
而平面, 平面且,
所以平面.又平面,所以.
(Ⅱ)解:設(shè), 為上任意一點(diǎn),連接.
由(Ⅰ)知平面, 為與平面所成的角.
在中, ,所以當(dāng)最短時(shí), 最大,
即當(dāng)時(shí), 最大.此時(shí),
因此.又,所以,所以.
方法1:因?yàn)?/span>平面, 平面,
所以平面平面.過(guò)作于,由面面垂直的性質(zhì)定理,
則平面,過(guò)作于,連,則,此時(shí)平面,
顯然,則為二面角的平面角,
在中,∵,∴, ,
在中,∵,又是的中點(diǎn),∴,
因此在中, ,又,
在中, ,即所求二面角的余弦值為.
方法2:由(Ⅰ)知兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
又分別為的中點(diǎn),所以, ,所以.
設(shè)平面的一法向量為,則 因此
取,則,因?yàn)?/span>, , ,所以平面,
故為平面的一法向量.又,所以.因?yàn)槎娼?/span>為銳角,所以所求二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,平面,,,,,,為線段上一點(diǎn).
(Ⅰ)求的值,使得平面;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為加強(qiáng)學(xué)生的交通安全教育,對(duì)學(xué)校旁邊,兩個(gè)路口進(jìn)行了8天的檢測(cè)調(diào)查,得到每天各路口不按交通規(guī)則過(guò)馬路的學(xué)生人數(shù)(如莖葉圖所示),且路口數(shù)據(jù)的平均數(shù)比路口數(shù)據(jù)的平均數(shù)小2.
(1)求出路口8個(gè)數(shù)據(jù)中的中位數(shù)和莖葉圖中的值;
(2)在路口的數(shù)據(jù)中任取大于35的2個(gè)數(shù)據(jù),求所抽取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)不小于40的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代,網(wǎng)校培訓(xùn)已經(jīng)成為青年學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì),假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量(單位:千套)與銷售價(jià)格(單位:元/套)滿足的關(guān)系式(,為常數(shù)),其中與成反比,與的平方成正比,已知銷售價(jià)格為5元/套時(shí),每日可售出套題21千套,銷售價(jià)格為3.5元/套時(shí),每日可售出套題69千套.
(1) 求的表達(dá)式;
(2) 假設(shè)網(wǎng)校的員工工資,辦公等所有開(kāi)銷折合為每套題3元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價(jià)格的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大.(保留1位小數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),MN分別為ABPC的中點(diǎn),平面PAD∩平面PBC=l.
(1)判斷BC與l的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)判斷MN與平面PAD的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓x2+y2-6x-8y+21=0和直線kx-y-4k+3=0.
(1)若直線和圓總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求k的取值集合
(2)求當(dāng)k取何值時(shí),直線被圓截得的弦最短,并求這最短弦的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.
⑴求W的方程;
⑵若A、B是W上的不同兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C,D的動(dòng)點(diǎn),將△ADE沿AE翻折成△SAE,使得平面SAE⊥平面ABCE,則下列說(shuō)法中正確的有( )
①存在點(diǎn)E使得直線SA⊥平面SBC;
②平面SBC內(nèi)存在直線與SA平行
③平面ABCE內(nèi)存在直線與平面SAE平行;
④存在點(diǎn)E使得SE⊥BA.
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
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【題目】某企業(yè)共有20條生產(chǎn)線,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的影響,會(huì)產(chǎn)生一定量的次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)萬(wàn)件與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量萬(wàn)件之間滿足關(guān)系:.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的產(chǎn)品可以以盈利3萬(wàn)元,但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元.
(Ⅰ)試將該企業(yè)每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)表示為的函數(shù);
(Ⅱ)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為多少時(shí),該企業(yè)的利潤(rùn)最大,最大為多少?
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