Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PD上． （Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，求 的值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵在平行四邊形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°， ∵AB=AC，∴AB⊥AC．
∵E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴EF∥AB，
∴EF⊥AC．
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
∴PA⊥底面ABCD．
又EF底面ABCD，
∴PA⊥EF．
又∵PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AP為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），
∴ =（2，0，﹣2）， =（﹣2，2，﹣2）， ， =（1，1，﹣2）．
設(shè) =λ（0≤λ≤1），則 =（﹣2λ，2λ，﹣2λ），
∴ = =（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），
顯然平面ABCD的一個(gè)法向量為 =（0，0，1）
設(shè)平面PBC的法向量為 =（x，y，z），
則 ，即
令x=1，得 =（1，1，1）．
∴cos＜ ， ＞= = ，cos＜ ＞= = ．
∵直線ME與平面PBC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，
∴| |=| |，即 ，
解得 ，或 （舍）．
∴ ．

【解析】（I）由平行四邊形的性質(zhì)可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直的性質(zhì)得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC；（II）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) =λ（0≤λ≤1），求出平面PBC，平面ABCD的法向量 及 的坐標(biāo)，根據(jù)線面角相等列方程解出λ．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．