Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點(diǎn)A在直線上．
（1）求a的值及直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），試判斷直線與圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用代入法，可得a的值；再由兩角差的余弦公式和直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系，即可得到直角坐標(biāo)方程；
（2）求得圓的普通方程，求得圓的圓心和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可判斷直線和圓的位置關(guān)系．

解答 解：（1）由點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）在直線ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a上，可得a=$\sqrt{2}$cos0=$\sqrt{2}$，
所以直線的方程可化為ρcosθ+ρsinθ=2，
從而直線的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0，
（2）由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，
所以圓心為（1，0），半徑r=1，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1，
所以直線與圓相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．