Question

若函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+c恰有三個不同的零點，則實數(shù)c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：分析：根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并且通過導(dǎo)數(shù)求出出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到原函數(shù)的極值，因為函數(shù)存在三個不同的零點，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，即可單調(diào)答案．

解答： 解：由題意可得：f′（x）=x²-x-2．
令f′（x）＞0，則x＞2或x＜-1，令f′（x）＜0，則-1＜x＜2，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（2，+∞），減區(qū)間為（-1，2），
所以當(dāng)x=-1時函數(shù)有極大值f（-1）=

7

6

+c，當(dāng)x=2時函數(shù)有極小值f（2）=-

10

3

+c．
因為函數(shù)f（x）存在三個不同的零點，
所以f（-1）＞0并且f（2）＜0，
解得：-

7

6

＜c＜

10

3

．
所以實數(shù)a的取值范圍是 （-

7

6

，

10

3

）．
故答案為（-

7

6

，

10

3

）．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)球函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值，并且掌握通過函數(shù)零點個數(shù)進而判斷極值點與0的大小關(guān)系