Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于（0，0），（2，0）且有最大值為1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）|，畫(huà)出g（x）的大致圖象，并指出g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若方程g（x）=m恰有四個(gè)不同的解，根據(jù)圖象指出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于（0，0），（2，0）可設(shè)出函數(shù)的交點(diǎn)式（兩點(diǎn)式）方程，然后根據(jù)函數(shù)y=f（x）有最大值1，可求出a值，進(jìn)而得到y(tǒng)=f（x）的解析式；
（2）由g（x）=|f（x）|，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的對(duì)折變換法則，即可得到函數(shù)g（x）的圖象，進(jìn)而得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)（2）中函數(shù)g（x）的圖象，分析出m取不同值時(shí)，函數(shù)圖象與直線y=m的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，易得方程g（x）=m恰有四個(gè)不同的解時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于（0，0），（2，0）
設(shè)f（x）=ax（x-2）
又∵f（x）有最大值1，則a＜0，且-a=1，則a=-1，
∴f（x）=-x（x-2）；
（2）二次函數(shù)y=f（x）的圖象如下圖所示：

由圖象可知g（x）的增區(qū)間為（0，1），（2，+∞），減區(qū)間為（-∞，0），（1，2）；
（3）因?yàn)榉匠蘥（x）=m的解是g（x）的圖象與直線y=m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
方程g（x）=m恰有四個(gè)解，說(shuō)明g（x）的圖象與直線y=m恰有四個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可知0＜m＜1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中畫(huà)出函數(shù)的圖象然后利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答，是此類問(wèn)題的解答關(guān)鍵．