Question

【題目】如圖，正方形所在平面與等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)分別證明BD垂直DE和AD,結(jié)合直線與平面垂直判定,即可.(2)建立坐標(biāo)系,分別計(jì)算兩個(gè)平面的法向量,結(jié)合向量數(shù)量積公式,即可.

證明：（1）因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

，所以平面，

所以.

在中，，，

由余弦定理可得，所以，

所以，即，

又因?yàn)?/span>平面，平面，，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）因?yàn)樗倪呅?/span>是等腰梯形，，

又由（1）知，所以，所以.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線作為軸，軸，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

設(shè)，則，可得，，

由，，可得，，

由此可得，，，

設(shè)平面的法向量為，則，

可得，

令，則，，所以，

由（1）知，，，所以是平面的一個(gè)法向量.

.

所以所求銳二面角的余弦值為.