Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過點F₁的直線x-y+$\sqrt{10}$=0與圓x²+y²=b²相交截得的弦長為2$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓C與直線2x-3y=0在第一象限的交點為P，與直線OP平行的直線l交橢圓于A，B兩點，求證：∠APB的平分線與y軸垂直．

Answer 1

分析 （1）由直線x-y+$\sqrt{10}$=0，可得F₁（-$\sqrt{10}$，0），運用圓的弦長公式可得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}）^{2}}$，解方程可得b，c，進而得到a，即有橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線2x-3y=0和橢圓方程4x²+9y²=72，可得P的坐標(biāo)，再由直線OP的斜率設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，再由直線的斜率公式，證得k_PA+k_PB=0即可．

解答 解：（1）點F₁在直線x-y+$\sqrt{10}$=0上，可得F₁（-$\sqrt{10}$，0），
由圓的弦長公式可得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}）^{2}}$，
解得b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{10}$，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）證明：直線2x-3y=0代入橢圓方程4x²+9y²=72，
可得x=3，y=2（負的舍去），即P（3，2），
直線OP的斜率為$\frac{2}{3}$，可設(shè)直線l的方程為y=$\frac{2}{3}$x+t，
可得8x²+12tx+9t²-72=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{12t}{8}$，x₁x₂=$\frac{9{t}^{2}-72}{8}$，
由k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$=$\frac{\frac{2}{3}{x}_{1}+t-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{\frac{2}{3}{x}_{2}+t-2}{{x}_{2}-3}$
=$\frac{4}{3}$+t（$\frac{1}{{x}_{1}-3}$+$\frac{1}{{x}_{2}-3}$）=$\frac{4}{3}$+t•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-6}{{x}_{1}{x}_{2}+9-3（{x}_{1}+{x}_{2}）}$
=$\frac{4}{3}$+t•$\frac{-12t-48}{9{t}^{2}-72+72+36t}$=0，
可得∠APB的平分線與y軸垂直．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用直線和圓相交的弦長公式，考查直線的斜率的運用，以及直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．