Question

5．已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓M的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓上異于長軸頂點的任意點A與左右兩焦點F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形中面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若A與C是橢圓M上關(guān)于x軸對稱的兩點，連接CF₂與橢圓的另一交點為B，求證：直線AB與x軸交于定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意知：$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}（2c）b=\sqrt{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），AB：y=kx+m．代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式可得m，k的關(guān)系式，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意知：$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}（2c）b=\sqrt{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得c=1，a=2，$b=\sqrt{3}$．
∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），AB：y=kx+m．
將y=kx+m，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
則${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$．
∵B，C，F(xiàn)₂共線，∴${k_{B{F_2}}}={k_{C{F_2}}}$，即$\frac{{-（k{x_1}+m）}}{{{x_1}-1}}=\frac{{k{x_2}+m}}{{{x_2}-1}}$．
整理得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴$2k\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}-（m-k）\frac{8km}{{4{k^2}+3}}-2m=0$，m=-4k．
AB：y=k（x-4），與x軸交于定點P（4，0）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、直線經(jīng)過定點問題、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．