Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x（lnx+k），（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)為f′（x），且f′（1）=0．
（1）求k的值；
（2）設g（x）=f′（x）-2[f（x）+e^x]，φ（x）=$\frac{e^x}{x}$，g（x）≤t•φ（x）恒成立．求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用f′（1）=0，即可求k的值；
（2）由g（x）≤tφ（x）得${e^x}（{\frac{1}{x}-1-lnx}）≤t•\frac{e^x}{x}$，分離參數(shù)，求最值，即可求實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）$f'（x）={e^x}（{lnx+k}）+{e^x}•\frac{1}{x}$，
∴f'（1）=ek+e=0，∴k=-1…（4分）
（2）$g（x）={e^x}•（{\frac{1}{x}-1-lnx}）$，由g（x）≤tφ（x）得${e^x}（{\frac{1}{x}-1-lnx}）≤t•\frac{e^x}{x}$
即$\frac{1}{x}-1-lnx≤\frac{t}{x}（{x＞0}）$，∴t≥1-x-xlnx（x＞0）
令h（x）=1-x-xlnx，（x＞0），則h'（x）=-（lnx+2）=0，x=e^-2，
∴h（x）在（0，e^-2）↗，（e^-2，+∞）↘，
∴$h{（x）_{max}}=h（{{e^{-2}}}）=1+\frac{1}{e^2}$，
∴$t≥1+\frac{1}{e^2}$…（12分）

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．