Question

5．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π＜φ＜2π）為奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（α）=$\frac{3}{5}$，α為第二象限角，求tan（α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)的周期，可得ω，再由奇偶性可得φ值，化簡即可；
（2）由題意和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得tanα，代入兩角差的正切公式計(jì)算可得．

解答 解：（1）由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期T=4×$\frac{π}{2}$=2π，
∵ω＞0，由周期公式可得$\frac{2π}{ω}$=2π，解得ω=1，
再由f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π＜φ＜2π）為奇函數(shù)可得φ=$\frac{3π}{2}$，
∴f（x）=cos（x+$\frac{3π}{2}$）=sinx；
（2）由f（α）=$\frac{3}{5}$可得sinα=$\frac{3}{5}$，又α為第二象限角，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$
∴tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{-\frac{3}{4}-1}{1-\frac{3}{4}}$=-7

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及和差角的三角函數(shù)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬中檔題．