Question

6．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為120°，則|$\overrightarrow{a}$|的取值范圍是（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，由已知$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為120°可得∠ABC=60°，由正弦定理$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow|}{sin60°}$得|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，從而可求|$\overrightarrow{a}$|的取值范圍

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，
如圖所示：
則由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$
又∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為120°，
∴∠ABC=60°
又由|$\overline{AC}$|=|$\overrightarrow$|=1
由正弦定理$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow|}{sin60°}$得|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴|$\overrightarrow{a}$|∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
故答案為：$（0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主考查了向量的減法運(yùn)算的三角形法則，考查了三角形的正弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．