Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．M是PD的中點．
（1）證明PB∥平面MAC；
（2）證明平面PAB⊥平面ABCD；
（3）求直線PC與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面平行的判定,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接MO，由ABCD是矩形，AC∩BD=0，知O是BD的中點，故OM∥PB，由此能夠證明PB∥平面MAC．
（2）由AD=2，PA=2，PD=2

2

，知PA⊥AD，由ABCD是矩形，知AB⊥AD，故AD⊥平面PAB，由此能夠證明平面PAB⊥平面ABCD．
（3）分別以AB、AD為x、y軸建立如圖坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出直線與平面所成的角的正弦值．

解答： （1）證明：連接MO，
∵ABCD是矩形，AC∩BD=0，
∴O是BD的中點，
∵M是PD的中點，
∴OM∥PB，
∵PB?平面MAC，OM?平面MAC，
∴PB∥平面MAC．

（2）證明：∵AD=2，PA=2，PD=2

2

，
∴PA⊥AD，
∵ABCD是矩形，∴AB⊥AD，
∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，
∵AD?平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（3）解：∵平面ABCD⊥平面PAB
∴分別以AB、AD為x、y軸建立如圖坐標(biāo)系，
根據(jù)平面ABCD⊥平面PAB，AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°，
得P（1，0，

3

），C（3，2，0），A（0，0，0），D（0，2，0），
∴

PC

=（2，2，-

3

），

AP

=(1，0，

3

)，

AD

=（0，2，0），
設(shè)平面PAD的法向量

n

=(x，y，z)，則

AP

•

n

=0，

AD

•

n

=0，
∴

x+ 3 z=0 y=0

，∴

n

=(

3

，0，-1)，
設(shè)直線與平面所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

PC

＞|=|

2 3 + 3

2× 11

|=

3 33

22

．

點評：證明線面平行只要在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行即可，證明面與面垂直只要證明其中一個平面過另一個平面的垂線即可，求三棱錐的體積關(guān)鍵是找到一個高并且簡單易求．