解答:
(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)f'(x)=(2x-2)e
x+(x
2-2x+2-k)e
x=(x
2-k)e
x.(3分)
當(dāng)k<0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).
當(dāng)k=0時(shí),在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上f'(x)>0,f'(0)=0,
函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).(5分)
當(dāng)k>0時(shí),解f'(x)>0,得
x>,或
x<-.
解f'(x)<0,得
-<x<.
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間
(-∞,-)和
(,+∞)上是增函數(shù),
在區(qū)間
(-,)上是減函數(shù).
綜上,當(dāng)k≤0時(shí),(-∞,+∞)是函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
當(dāng)k>0時(shí),
(-∞,-)和
(,+∞)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,
(-,)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(7分)
(Ⅱ)當(dāng)k≤0時(shí),函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),
所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0),
依題意,f(0)=2-k=e,解得k=2-e,符合題意.(8分)
當(dāng)
≥1,即k≥1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù).
所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1),
解f(1)=(1-k)e=e,得k=0,不符合題意.(9分)
當(dāng)
<1,即0<k<1時(shí),
函數(shù)f(x)在區(qū)間
[0,]上是減函數(shù),在區(qū)間
[,1]上是增函數(shù).
所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為
f(),(10分)
解
f()=(2-2)e=e,即
(2-2)=e1-,
設(shè)h(t)=e
t-2t,t∈(0,1),(11分)
h'(t)=e
t-2,則在區(qū)間(0,ln2)上h'(t)<0,
在區(qū)間(ln2,1)上h'(t)>0,
所以h(t)在區(qū)間(0,1)上的最小值為h(ln2),(12分)
又h(ln2)=e
ln2-2ln2=2-2ln2>0,(13分)
所以e
t-2t=0在區(qū)間(0,1)上無(wú)解,
所以
(2-2)=e1-在區(qū)間(0,1)上無(wú)解,(14分)
綜上,k=2-e.