Question

1．（1）試用比較法證明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（m，n，a，b∈R）
（2）已知x²+y²=2，且|x|≠|(zhì)y|，求$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，即可證明；
（2）由柯西不等式得：（x²+y²）（$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$）≥$（\frac{1}{3}+3）^{2}$，即可求得結(jié)論．

解答 （1）證明：左邊=a²x²+a²y²+b²x²+b²y²，右邊=a²x²+2abxy+b²y²，
左邊-右邊=a²y²+b²x²-2abxy=（ay-bx）²≥0，…（2分）
∴左邊≥右邊，命題得證．…（3分）
（2）解：∵x²+y²=2，∴由柯西不等式得：（x²+y²）（$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$）≥$（\frac{1}{3}+3）^{2}$，…（5分）
∴$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$的最小值為$\frac{50}{9}$．…（7分）

點評 本題考查柯西不等式，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．