Question

7．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為兩個(gè)垂直的單位向量，$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+z$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，則下列命題：
①$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$中任意兩個(gè)向量都可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；
②$\overrightarrow$∥$\overrightarrow{c}$；
③$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow$上的投影為正值；
④若$\overrightarrow{p}$=（x，y），則|$\overrightarrow{p}$|²的最小值為$\frac{3}{4}$．
其中正確的命題是①④（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 由題意可得：$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$），設(shè)$\overrightarrow{a}{=λ}_{1}\overrightarrow$，$\overrightarrow={λ}_{2}\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}={λ}_{3}\overrightarrow{a}$，可得無(wú)解，從而證明$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$互不共線，故①正確，②錯(cuò)誤；由$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow$上的投影為$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$-\frac{1}{2}＜0$可得③錯(cuò)誤；由x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+z$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，可解得x=$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解得|$\overrightarrow{p}$|²=x²+y²的最小值．

解答 解：由題意可得：$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{a}{=λ}_{1}\overrightarrow$，$\overrightarrow={λ}_{2}\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}={λ}_{3}\overrightarrow{a}$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{1={-\frac{\sqrt{3}}{2}λ}_{1}}\\{0=-\frac{1}{2}{λ}_{1}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}{λ}_{2}}\\{-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}{λ}_{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}={λ}_{3}}\\{-\frac{1}{2}=0×{λ}_{3}}\end{array}\right.$，均無(wú)解，
故$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$互不共線，故①正確，②錯(cuò)誤．
由$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow$上的投影為$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$-\frac{1}{2}＜0$可得③錯(cuò)誤．
∵x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+z$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{y+z=2}\\{2x=\sqrt{3}（y-z）}\end{array}\right.$，可得：x=$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$
∴解得若$\overrightarrow{p}$=（x，y），則|$\overrightarrow{p}$|²=x²+y²=（$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$）²+y²=4y²-6y+3，故解得二次函數(shù)的最小值為：$\frac{4×4×3-36}{4×4}=\frac{3}{4}$．故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，平面向量及應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．