Question

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，若E是AB的中點(diǎn)，P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)．則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-6，6]
• B． [-9，9]
• C． [0，8]
• D． [-2，6]

Answer 1

分析 首先，分別以CA，CB二直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，從而可求出圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)P（x，y），根據(jù)條件知P點(diǎn)在△ABC內(nèi)部及其邊界上．這樣即可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EP}=-4x+y+7$，設(shè)z=-4x+y+7，從而y=4x+z-7，通過求該直線在y軸上的截距z-7的最大、最小值，便可求出z的最大、最小值，從而得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EP}$的取值范圍．

解答 解：如圖，以邊CA，CB所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：
A（4，0），B（0，2），D（0，1），E（2，1）；
設(shè)P（x，y），P點(diǎn)在△ABC內(nèi)部包括邊界，則：
$\overrightarrow{AD}=（-4，1），\overrightarrow{EP}=（x-2，y-1）$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EP}=-4（x-2）+y-1=-4x+y+7$；
設(shè)z=-4x+y+7，則y=4x+z-7，該式表示斜率為4，在y軸上的截距為z-7的直線；
由圖形看出當(dāng)直線y=4x+z-7過點(diǎn)B時(shí)，z-7取最大值2，∴z取最大值9；
當(dāng)該直線過點(diǎn)A時(shí)，z-7取最小值-16，∴z取最小值-9；
∴z的范圍，即$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EP}$的范圍為[-9，9]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)解決數(shù)量積問題的方法，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及線性規(guī)劃的方法求變量的范圍．