【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的最小值;
(2)當(dāng)時(shí),若對(duì),,使得成立,求的范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí),最小值為.(2)
【解析】試題分析:(1)本問(wèn)考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù),,令得,對(duì)分類討論,當(dāng),,時(shí),分別討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的最小值;(2)本問(wèn)主要考查“任意”、“存在”問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,對(duì),,使得成立”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由(1)問(wèn)易得到函數(shù)的最小值,然后通過(guò)對(duì)的討論求即可.
試題解析:(I),令得.
當(dāng)即時(shí),在上,遞增,的最小值為
.
當(dāng)即時(shí),在上,為減函數(shù),在上,為增函數(shù). ∴的最小值為.
當(dāng)即時(shí),在上,遞減,的最小值為
.
綜上所述,當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí),最小值為.
(II)令
由題可知“對(duì),,使得成立”
等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”.
即
由(I)可知,當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),,
①當(dāng)時(shí),
由得,與矛盾,舍去.
②當(dāng)時(shí),
由得,與矛盾,舍去.
③當(dāng)時(shí),
由得
綜上,的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
10 | 0.25 | |
25 | ||
2 | 0.05 | |
合計(jì) | 1 |
(1)求出表中及圖中的值;
(2)試估計(jì)他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.
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【題目】設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列, ,滿足:對(duì)于任意的總有兩個(gè)不同的根,則的通項(xiàng)公式為_________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,,,,,點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)若是中點(diǎn),證明平面;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,已知直線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù), ),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線相交于, 兩點(diǎn),當(dāng)變化時(shí),求的最小值.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,F(xiàn)為弦AC的中點(diǎn),連接OF并延長(zhǎng)交 于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:AC∥DE;
(2)連接CD,若OA=AE=a,寫(xiě)出求四邊形ACDE面積的思路.
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【題目】某校高三文科500名學(xué)生參加了5月份的模擬考試,學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生的數(shù)學(xué)、語(yǔ)文情況,利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,抽出的100名學(xué)生的數(shù)學(xué)、語(yǔ)文成績(jī)?nèi)缦卤恚?/span>
(1)將學(xué)生編號(hào)為:001,002,003,……,499,500.若從第5行第5列的數(shù)開(kāi)始右讀,請(qǐng)你依次寫(xiě)出最先抽出的5個(gè)人的編號(hào)(下面是摘自隨機(jī)數(shù)表的第4行至第7行)
(2)若數(shù)學(xué)的優(yōu)秀率為,求的值;
(3)在語(yǔ)文成績(jī)?yōu)榱己玫膶W(xué)生中,已知,求數(shù)學(xué)成績(jī)“優(yōu)”比“良”的人數(shù)少的概率.
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【題目】【2017屆湖南省長(zhǎng)沙市高三上學(xué)期統(tǒng)一模擬考試文數(shù)】已知過(guò)的動(dòng)圓恒與軸相切,設(shè)切點(diǎn)為是該圓的直徑.
(Ⅰ)求點(diǎn)軌跡的方程;
(Ⅱ)當(dāng)不在y軸上時(shí),設(shè)直線與曲線交于另一點(diǎn),該曲線在處的切線與直線交于點(diǎn).求證: 恒為直角三角形.
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