Question

18．下列命題中正確命題的個數(shù)是（　�。�
①對于命題P：存在x∈R，使得x²+x-1＜0，則﹁P：任意x∈R，均有x²+x-1＞0
②命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題
③“m=-1”是“直線l₁：mx+（2m-1）y+1=0與直線l₂：3x+my+3=0垂直”的充要條件．

• A． 3個
• B． 2個
• C． 1個
• D． 0個

Answer 1

分析 ①“存在x∈R”的否定形式為“?x∈R”．
②判斷原命題的真假．
③由題設(shè)條件，可分兩步研究本題，先探究m=0時直線mx+（2m-1）y+1=0與直線3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直線mx+（2m-1）y+1=0與直線3x+my+3=0互相垂直時m的可能取值，再依據(jù)充分條件必要條件做出判斷，得出答案．

解答 解：對于①命題P：存在x∈R使得x²+x+1＜0．則﹁P：?x∈R使得x²+x+1≥0．故①錯誤．
對于②：命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為命題“若sinx≠siny”，則“x≠y”，②正確．
對于③：若兩直線垂直，則當(dāng)m=0時，兩直線為y=2與x=-1，此時兩直線垂直．
當(dāng)2m-1=0，即m=$\frac{1}{2}$時，兩直線為x=-4與3x+$\frac{1}{2}$y+3=0，此時兩直線相交不垂直．
當(dāng)m≠0且m$≠\frac{1}{2}$時，兩直線的斜截式方程為y=$\frac{-m}{2m-1}$x-$\frac{2}{2m-1}$與y=$\frac{3}{m}$．
兩直線的斜率為$\frac{-m}{2m-1}$與$\frac{-3}{m}$，
所以由$\frac{-m}{2m-1}$得m=-1，
所以m=-1是兩直線垂直的充分不必要條件，故③錯．
故選：C

點(diǎn)評 判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．當(dāng)一個命題的真假不易判斷時，往往可以轉(zhuǎn)化為判斷原命題的逆否命題的真假，因?yàn)樗鼈兪堑葍r命題．另外，否命題和逆命題也是等價命題．