Question

8．已知集合A_n={（a₁，a₂，…a_n）|a_j=0或1，j=1，2，…，n（n≥2）}，對于U，V∈A_n，d（U，V）表示U和V中相對應的元素不同的個數(shù)，若給定U∈A_n，則所有的d（U，V）和為n2^n-1．

Answer 1

分析 易知A_n中共有2ⁿ個元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）b_i=0的v_k共有2^n-1個，b_i=1的v_k共有2^n-1個然后求和即可．

解答 解：易知A_n中共有2ⁿ個元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ），
V=（b₁，b₂，b₃，…，b_n）
∵b_i=0的v_k共有2^n-1個，b_i=1的v_k共有2^n-1個．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-0|+|a₁-1|+|a₂-0|+a₂-1|+|a₃-0|+|a₃-1|+…+|a_n-0|+|a_n-1|）=n×2^n-1
∴d（U，V）=n×2^n-1．
故答案為：n×2^n-1

點評 此題是個難題．本題是綜合考查集合推理綜合的應用，這道題目的難點主要出現(xiàn)在讀題上，需要仔細分析，以找出解題的突破點．題目所給的條件其實包含兩個定義，第一個是關于S_n的，其實S_n中的元素就是一個n維的坐標，其中每個坐標值都是0或者1，也可以這樣理解，就是一個n位數(shù)字的數(shù)組，每個數(shù)字都只能是0和1，第二個定義d（U，V）．