Question

5．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且橢圓Γ過點(diǎn)A（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），L、N為橢圓Γ上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)．
（I）求橢圓Γ的方程；
（2）已知圓Ω以原點(diǎn)為圓心，2為半徑，Q為圓Ω上的點(diǎn)；記M為橢圓的右頂點(diǎn)，延長(zhǎng)MN交圓Ω于P，直線PQ過點(diǎn)（-$\frac{6}{5}$，0）．求證：直線NL的斜率與直線PQ的斜率之比為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）M（2，0），設(shè)N（x₀，y₀），則直線NL的斜率=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，${x}_{0}^{2}$-4=-4${y}_{0}^{2}$．圓Ω的方程為：x²+y²=4．直線MN的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），與圓的方程聯(lián)立化為：$[（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}]$x²-4${y}_{0}^{2}$x+$4{y}_{0}^{2}$-4$（{x}_{0}-2）^{2}$=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x_P，進(jìn)而得到y(tǒng)_P，再利用斜率計(jì)算公式可得k_PQ，即可得出結(jié)論．

解答 （I）解：由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓Γ的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）證明：M（2，0），設(shè)N（x₀，y₀），則直線NL的斜率=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，${x}_{0}^{2}$-4=-4${y}_{0}^{2}$．
圓Ω的方程為：x²+y²=4．
直線MN的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化為：$[（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}]$x²-4${y}_{0}^{2}$x+$4{y}_{0}^{2}$-4$（{x}_{0}-2）^{2}$=0，
∴2x_P=$\frac{4{y}_{0}^{2}-4（{x}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$，可得x_P=$\frac{2{y}_{0}^{2}-2（{x}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$，∴y_P=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x_P-2）=$\frac{-4{y}_{0}（{x}_{0}-2）}{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$，
∴k_PQ=$\frac{\frac{4{y}_{0}（{x}_{0}-2）}{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}}{-\frac{6}{5}-\frac{2{y}_{0}^{2}-2（{x}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}}$=$\frac{5{y}_{0}（{x}_{0}-2）}{（{x}_{0}-2）^{2}-4{y}_{0}^{2}}$，
∴$\frac{{k}_{NL}}{{k}_{PQ}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×$\frac{（{x}_{0}-2）^{2}-4{y}_{0}^{2}}{5{y}_{0}（{x}_{0}-2）}$=$\frac{（{x}_{0}-2）^{2}+{x}_{0}^{2}-4}{5{x}_{0}（{x}_{0}-2）}$=$\frac{2}{5}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相交問題、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．