Question

12．定義在R上的函數(shù)y=f（x）對(duì)任意的x、y∈R，滿足條件：f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)；
（3）解關(guān)于t的不等式f（2t²-t）＜1．

Answer 1

分析 （1）用賦值法分析：在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，令x=y=0可得：f（0）=f（0）+f（0）-1，解可得f（0）的值，即可得答案；
（2）用定義法證明：設(shè)x₁＞x₂，則x₁=x₂+（x₁-x₂），且（x₁-x₂）＞0，結(jié)合題意可得f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1，作差可得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1，分析可得f（x₁）-f（x₂）＞0，由增函數(shù)的定義即可得證明；
（3）根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與f（0）=1可得2t²-t＜0，解可得t的取值范圍，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，
令x=y=0可得：f（0）=f（0）+f（0）-1，
解可得：f（0）=1，
（2）證明：設(shè)x₁＞x₂，則x₁=x₂+（x₁-x₂），且x₁-x₂＞0，
則有f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1，
即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1，
又由x₁-x₂＞0，則有f（x₁-x₂）＞1，
故有f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1＞0，
即函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
（3）根據(jù)題意，f（2t²-t）＜1，
又由f（0）=1且函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則有2t²-t＜0，
解可得0＜t＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)求值及函數(shù)單調(diào)性的判斷，“賦值法”、“定義法”是解決抽象函數(shù)問題的有力工具．