Question

7．如圖，摩天輪的半徑為30m，圓心O點距地面的高度為35m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每3min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處，已知在時刻t（min）時點P距離地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h．
（1）求在2017min時點P距離地面的高度；
（2）求證：不論t為何值時f（t）+f（t+1）+f（t+2）為定值．

Answer 1

分析 （1）求出f（t）的解析式，再計算f（2017）；
（2）利用和差公式化簡f（t），f（t+1），f（t+2）即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可知f（t）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=3，∴ω=$\frac{2π}{3}$，
∵f（t）的最大值為65，最小值為5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{A+h=65}\\{-A+h=5}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{A=30}\\{h=35}\end{array}\right.$，
∵f（0）=5，30sinφ+35=5，解得sinφ=-1，
∴φ=-$\frac{π}{2}$．
∴f（t）=30sin（$\frac{2π}{3}$t-$\frac{π}{2}$）+35．
∴f（2017）=f（1）=30sin$\frac{π}{6}$+35=50．
∴在2017min時，P點距離地面50米．
（2）由（1）知f（t）=30sin（$\frac{2π}{3}$t-$\frac{π}{2}$）+35=-30cos$\frac{2π}{3}$t+35，
∴f（t+1）=30sin（$\frac{2π}{3}t$+$\frac{π}{6}$）+35=15$\sqrt{3}$sin$\frac{2π}{3}$t+15cos$\frac{2π}{3}$+35，
f（t+2）=30sin（$\frac{2π}{3}$t+$\frac{5π}{6}$）+35=-15$\sqrt{3}$sin$\frac{2π}{3}$t+15cos$\frac{2π}{3}$t+35，
∴f（t）+f（t+1）+f（t+2）=35×3=105．
∴不論t為何值時f（t）+f（t+1）+f（t+2）為定值105．

點評 本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題．