Question

7．當x＞-1時，求f（x）=$\frac{{x}^{2}-3x+1}{x+1}$的值域．

Answer 1

分析 可設y=f（x），這樣便可得到x²-（3+y）x+1-y=0，將該式看成關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，從而有$\left\{\begin{array}{l}{△={y}^{2}+10y+5≥0}\\{\frac{3+y}{2}＞-1}\end{array}\right.$，解該不等式組即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：設y=f（x），y=$\frac{{x}^{2}-3x+1}{x+1}$；
∴yx+y=x²-3x+1；
整理成：x²-（3+y）x+1-y=0，看成關(guān)于x的一元二次方程，方程在（-1，+∞）上有解；
設g（x）=x²-（3+y）x+1-y；
∵g（-1）=5＞0；
∴要滿足上面方程在（-1，+∞）上有解，首先判別式△≥0，再滿足g（x）的對稱軸在x=-1的右邊；
∴y需滿足：$\left\{\begin{array}{l}{△={y}^{2}+10y+5≥0}\\{\frac{3+y}{2}＞-1}\end{array}\right.$；
解得$y≥-5+2\sqrt{5}$；
∴原函數(shù)的值域為$[-5+2\sqrt{5}，+∞）$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函數(shù)值域的求法：整理成關(guān)于x的方程，由方程有解求其值域，要熟悉二次函數(shù)的圖象．